Najmanji zajednički višekratnik jedna je od onih tema iz 5. razreda koje djeci u početku zvuče komplicirano, a zapravo se svode na jednostavnu ideju. U ovom članku objasnit ću što je NZV, kako se računa na tri načina, gdje ćeš ga stvarno koristiti i koje greške učenici najčešće rade. Na kraju te čekaju zadaci za vježbu s rješenjima.
Što je višekratnik?
Višekratnik nekog broja je svaki broj koji dobiješ kad taj broj pomnožiš s prirodnim brojem 1, 2, 3, 4…
Višekratnici broja 4 su: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…
Višekratnici broja 6 su: 6, 12, 18, 24, 30, 36…
Višekratnika ima beskonačno mnogo, jer uvijek možeš množiti s još većim brojem.
Što je zajednički višekratnik?
Zajednički višekratnik dvaju brojeva je broj koji se nalazi na popisu višekratnika oba broja. Za brojeve 4 i 6 to su 12, 24, 36…
A najmanji zajednički višekratnik je, kako mu ime kaže, najmanji od njih. Za 4 i 6 to je 12.
Zapisujemo ga ovako: V(4, 6) = 12
Drugim riječima, NZV je najmanji broj koji je djeljiv sa svim zadanim brojevima.
Kako izračunati NZV: tri metode
1. metoda: nabrajanje višekratnika
Ispišeš višekratnike svakog broja i tražiš prvi koji se pojavljuje na svim popisima.
Primjer: V(6, 8)
- Višekratnici broja 6: 6, 12, 18, 24, 30…
- Višekratnici broja 8: 8, 16, 24, 32…
Prvi zajednički je 24, pa je V(6, 8) = 24.
Ova metoda je odlična za male brojeve, ali za veće brojeve postaje spora.
2. metoda: rastav na proste faktore
Svaki broj rastaviš na proste faktore. Zatim uzmeš svaki faktor koji se pojavljuje, i to onoliko puta koliko se najviše puta pojavljuje u nekom od brojeva.
Primjer: V(12, 18)
- 12 = 2 · 2 · 3
- 18 = 2 · 3 · 3
Faktor 2 se najviše puta pojavljuje u broju 12, i to dvaput. Faktor 3 se najviše puta pojavljuje u broju 18, i to dvaput.
V(12, 18) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36
Provjera: 36 : 12 = 3 i 36 : 18 = 2. Oba dijeljenja su bez ostatka, dakle rezultat je točan.
3. metoda: istovremeno dijeljenje (tablica)
Ova metoda se najčešće uči u školi i najbrža je kad imaš tri ili više brojeva. Brojeve pišeš u red i dijeliš ih prostim brojevima, počevši od najmanjeg (2, 3, 5, 7…). Brojeve koji nisu djeljivi prepišeš u sljedeći red. Postupak ponavljaš dok svi brojevi ne postanu 1.
Primjer: V(8, 12, 20)
| 8 | 12 | 20 | dijelimo s |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 10 | 2 |
| 2 | 3 | 5 | 2 |
| 1 | 3 | 5 | 2 |
| 1 | 1 | 5 | 3 |
| 1 | 1 | 1 | 5 |
NZV je umnožak svih brojeva u desnom stupcu:
V(8, 12, 20) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120
Provjera: 120 : 8 = 15, 120 : 12 = 10, 120 : 20 = 6. Sve je djeljivo, pa je rezultat točan.
Dva prečaca koja štede vrijeme
Ako je jedan broj djeljiv drugim, NZV je veći broj.
Primjer: V(5, 15) = 15, jer je 15 već djeljiv s 5.
Ako dva broja nemaju zajedničkih djelitelja osim 1, NZV je njihov umnožak.
Primjer: V(4, 9) = 4 · 9 = 36.
Gdje se NZV koristi?
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka
Ovo je najvažnija primjena. Da bi zbrojio razlomke s različitim nazivnicima, trebaš im zajednički nazivnik, a najlakše je uzeti upravo NZV nazivnika.
Primjer: 1/4 + 1/6
V(4, 6) = 12, pa proširujemo: 3/12 + 2/12 = 5/12
Tko dobro savlada NZV, puno lakše prolazi kroz razlomke u 5. i 6. razredu.
Zadaci iz svakodnevnog života
Jedan autobus polazi sa stanice svakih 12 minuta, a drugi svakih 18 minuta. U 8:00 su krenuli zajedno. Kada će sljedeći put krenuti zajedno?
V(12, 18) = 36, pa će ponovno krenuti zajedno za 36 minuta, odnosno u 8:36.
Kad god se u zadatku nešto ponavlja u različitim razmacima i pita se kad će se ponovno dogoditi istovremeno, tražiš NZV.
Najčešće greške
Miješanje NZV-a i NZD-a. Najveći zajednički djelitelj (NZD) je najveći broj s kojim su oba broja djeljiva. NZV je najmanji broj koji je djeljiv s oba broja. Za 12 i 18 vrijedi D(12, 18) = 6, a V(12, 18) = 36. Mali trik za pamćenje: NZV je uvijek veći ili jednak od zadanih brojeva, a NZD manji ili jednak.
Samo množenje brojeva. 4 · 6 = 24 jest zajednički višekratnik, ali nije najmanji, jer je to 12. Množenje daje NZV samo kad brojevi nemaju zajedničkih djelitelja.
Kod rastava uzeti samo zajedničke faktore. Ako uzmeš samo faktore koje brojevi dijele, dobit ćeš NZD, a ne NZV. Za NZV trebaju svi faktori.
Preskočena provjera. Kratko dijeljenje na kraju hvata većinu grešaka, pa ga uvijek napravi.
Zadaci za vježbu
- Izračunaj V(6, 8).
- Izračunaj V(9, 12).
- Izračunaj V(5, 7).
- Izračunaj V(10, 25).
- Izračunaj V(4, 6, 10).
- Izračunaj V(15, 20, 30).
- Zbroji razlomke: 1/6 + 3/8
- Ana ide na plivanje svaki 4. dan, a Marko svaki 6. dan. Danas su oboje bili na treningu. Za koliko dana će ponovno trenirati isti dan?
- Iz luke u Pučišćima jedan brodić isplovljava svakih 20 minuta, a drugi svakih 30 minuta. Ako su oba isplovila u 9:00, kada će sljedeći put isplovljavati zajedno?
Rješenja
- 24
- 9 = 3 · 3, 12 = 2 · 2 · 3, pa je V = 2 · 2 · 3 · 3 = 36
- 5 i 7 nemaju zajedničkih djelitelja, pa je V = 5 · 7 = 35
- 10 = 2 · 5, 25 = 5 · 5, pa je V = 2 · 5 · 5 = 50
- 4 = 2 · 2, 6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5, pa je V = 2 · 2 · 3 · 5 = 60
- 15 = 3 · 5, 20 = 2 · 2 · 5, 30 = 2 · 3 · 5, pa je V = 2 · 2 · 3 · 5 = 60
- V(6, 8) = 24, pa je 4/24 + 9/24 = 13/24
- V(4, 6) = 12, dakle za 12 dana
- V(20, 30) = 60 minuta, dakle u 10:00
Treba li ti pomoć?
Ako se tvoje dijete muči s NZV-om, razlomcima ili djeljivošću, to je sasvim normalno. To su teme na kojima mnogi učenici u 5. razredu zapnu, a kasnije se na njima gradi sve ostalo. Na online instrukcijama radimo jedan na jedan, preko digitalne ploče, sve dok gradivo ne sjedne.